ゴリラと学ぶ「複利計算」
ゴリたちゴリラは、バナナ🍌をただ食べるだけじゃなくて、おかね💰のようにあつかうこともあるウホ。
ニンゲンたちは、お金を預けたり、かしたり、いろいろやりくりしていると聞いたウホ。
ゴリたちも、おかね💰もといバナナ🍌をじょうずにあつかって、けいざい🏢をまわして🌀いきたいウホ。
というわけで、きょうは複利計算をやってみるウホ。
もんだい
あるゴリラ🦍がお金のかわりに銀行へバナナ🍌を預けたウホ。
バナナも、お金💰と同じように、利息がついてくれるウホ。
このバナナは、年利率が1%で預けられるウホ。 さいしょに40ほんのバナナをあずけて、そのまま10年あずけたときは、ぜんぶでどれくらいのバナナ🍌があることになるウホ？
💰💰💰💰💰💰💰💰💰💰
こたえ
なんかいろいろ言葉がでてきてややこしいウホ！さいしょにことばの意味📚をせいりしておくウホ。
| ことば | いみ |
|---|---|
| 元金 | あずけたバナナ🍌のかずウホ。 |
| 年利 | 利息（かしたほうが受け取れるおかね）のうち、年間ではらわれるおかねウホ。 |
| 年利率 | 年利のわりあいウホ。100バナナで年利率1%なら、101バナナ🍌もらえるウホ。 |
| 複利計算 | 元金に年利をたして、それにさらに年利率をかけていくウホ。101バナナもらった次の年は、(100×1.01)×1.01バナナ🍌もらえるウホ。 |
| バナナ | おいしいウホ。 |
10年でバナナがどうなるかのけいさんは、つぎのようにできるウホ。
バナナの合計を$S$、あずけたバナナを$40$本とするとすると、
$S = 40(1.01^{1}+1.01^{2}+1.01^{3}……+1.01^{10})$
となるウホ。
これは、等比数列の和の公式1から、
$S = \frac{40(1.01^{1} - 1.01^{11})}{1-1.01}$
になるウホ。けいさんすると、
$S = 422.67…$
になって、小数点以下をすてると、422本🍌になるウホ!
そのままもっているよりも、22本分おとくウホ！
こたえ： 422本
バナナ🍌をおかね💰みたいにあずけたりひきだしたりできれば、たくさんのバナナ🍌をすきなときにたべられる🍽ウホ！そんなゴリラ🦍のためのシステムがあればうれしいウホ。
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和の公式のしょうめいをしてみるウホ。
10年目までの和$S$は、もう書いた通り、 $$S = 40(1.01^{1}+1.01^{2}+1.01^{3}……+1.01^{10})$$ になるウホ。
あいだの「……」のところがはなしをややこしくしているウホ！
だから、これを消せるようなことをやりたいウホ。
そのために、1~10からいっこぶんずらして、2~11までの$S$をかんがえるウホ。
そうするには、両辺に1.01をかけちゃえばいいウホ。 $$1.01S = 40(1.01^{2}+1.01^{3}+1.01^{4}……+1.01^{11})$$ あとは、10までの和（$S$）から、11までの和（$1.01S$）をひいちゃうウホ。
ちょうど、あいだの $$40(1.01^{2}+1.01^{3}+1.01^{4}……+1.01^{10})$$ がなくなってくれて、 $$S-1.01S = 40(1.01^{1} - 1.01^{11})$$ になってくれるウホ！
この式をせいりすると、左辺は $$S - 1.01S = (1 - 1.01)S$$ になることから、 $$S = \frac{40(1.01^{1} - 1.01^{11})}{1-1.01}$$ になるウホ！ いっぱんてきに、1.01 = $r$（公比）40 = $a$（初項）として、
$n$までの和をもとめるときには、
$r ≠ 1$のとき、 $$S = \frac{a(r^{1} - r^{n})}{1-r}$$ になるウホ。 ↩︎